Ցուցչային ֆունկցիա

Ցուցչային ֆունկցիայի սահմանումը

 -ցուցչային ֆունկցիա է, որտեղ а-ն  կոչվում է ցուցչի հիմք, իսկ -ը՝ ցուցչի աստիճան։

Ցուցչային ֆունկցիայի որոշման տիրույթը, արժեքների բազմությունը

Դիտարկենք y(x) = a ^x ցուցչային ֆունկցիան
Հետագայում կհամարենք, որ a > 0 .
Այդ դեպքում  y(x) = a ^x  ֆունկցիան որոշված է բոլոր ղ-րի համար, այսինքն որոշման տիրույթը հետևյալն է`– ∞ < x + ∞.
a ≠ 1-ի դեպքում այն ունի բազմաթիվ լուծումներ` 0 < y < + ∞
 a = 1-ի դեպքում ցուցչային ֆունկցիան հաստատուն է`y = 1

Ցուցչային ֆունկցիայի գրաֆիկ

 

Գրաֆիկի վրա ներկայացված են a = 2, a = 8,
 a = 1/2  և a = 1/8 կետերի արժեքները:Երևում է, որ a > 1 դեպքում ցուցչային ֆունկցիան մոնոտոն աճում է. Որքան մեծ է a-ն, այնքան մեք աճ է: 0 < a < 1դեպքում ցուցչային ֆունկցիան մոնոտոն նվազում է:

Ցուցչային ֆունկցիայի հատկությունները

an =	a·a·a· ... ·a

Մասնավոր  դեպքեր

Եթե y(x) = a ^x, ապա


Ցուցչային ֆունկցիան դա մոնոտոն ֆունկցիա է և չունի էքստրեմալ կետեր

	y = ax, a > 1	y = ax, 0 < a < 1
Որոշման տիրույթ	– ∞ < x + ∞	– ∞ < x + ∞
Արժեքների բազմություն	0 < y < + ∞	0 < y < + ∞
մոնոտոնություն	Մոնոտոն աճում է	Մոնոտոն նվազում է

Հակադարձ ֆունկցիա

Ցուցչային ֆունկցիայի համար հակադարձ ֆունկցիա հանդիսանում է լոգարիթմական ֆունկցիան:
Եթե  ,   ապա

Օրինակներ`

Բնական թվեր

ԲՆԱԿԱՆ ԹՎԵՐ

Այն թվերը, որոնք օգտագործվում են առարկաներ հաշվելիս, անվանում են բնական թվեր: Ցանկացած բնական թիվ կարելի է գրել տասը թվանշանների միջոցով` 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9: Թվանշանի արժեքը թվի այդպիսի գրառման մեջ կախված է այն բանից, թե ինչ տեղ է այն զբաղեցնեւմ: Եթե 6 թվանշանը գրված է վերջում, ապա այն նշանակում է 6 միավոր, եթե նախավերջում` 6 տասնյակ, եթե վերջից երրորդ տեղում` ապա 6 հարյուրյակ և այլն:

5063=5x1000+6x10+3

28345=2x10000+8x1000+3x100+4x10+5

3000507=3x1000000+5x100+7

90083468=9x10000000+8x10000+3x1000+4x100+6x10+8

Թվանշաններով գրված թիվը կարդալու համար այն, սկսած աջից, տրոհում են խմբերի, յուրաքանչյուրում երեք թվանշան, և, սկսելով ձախից, հերթականությամբ անվանում են յուրաքանչյուր դասի միավորների թիվը, ավելացնելով նրա անվանումը: Աջից առաջին երեք թվանշանները կազմում են միավորների դասը, հաջորդ երեքը` հազարավորների դասը: Այնուհետև գալիս են միլիոնավորների, միլիարդավորների դասերը և այլն: Միլիարդավորներին հաջորդող դասերը հազվադեպ են օգտագործվում:

Բնական թվերի բազմության մեջ կատարվելիք գործողություններից երկուսի դեպքում ստացվում էավելի մեծ բնական թիվ:

Դրանք են`

1.Գումարումը:

Օրինակ`

ա. 268+758=1026

բ. 25697+61579=87276

Գումարման տեղափոխական օրենք. Գումարելիների տեղափոխությունից  գումարը  չի փոխվում:
Օրինակ`    125+64=64+125

Գումարման զուգորդական օրենք. եթե երկու թվերի գումարին գումարվում է  երրորդ թիվը,արդյունքը հավասար կլինի այն թվին,որը ստացվում է ,եթե առաջին թվին գումարվում է երկրորդ և երրորդ թվերի գումարը:
Օրինակ`   (36+256)+21=36+(256+21)

2. Բազմապատկումը:
   Օրինակ`

ա.26x 25=650

բ.72×31=2232

Բազմապատկման տեղափոխական օրենք. Արտադրիչների տեղերը փոխելիս արտադրյալը չի փոխվում:
Օրինակ` 4×6=6×4

Բազմապատկման զուգորդական օրենք. Երկու թվերի արտադրյալը երրորդ  թվով բազմապատկելու արդյունքը կարելի է ստանալ` առաջին թիվը  երկրորդ և երրորդ թվերի արտադրյալով բազմատկելով:
Օրինակ`   (6×3)x7=6x(3×7)

Բազմապատկման բաշխական օրենք գումարման նկատմամբ. Որևէ թիվ երկու թվերի գումարով բազմապատկելու արդյունքը կարելի է ստանալ` թիվը բազմապատկելով յուրաքանչյուր գումարելիով և ստացված թվերը գումարելով իրար:
Օրինակ` 2x(4+8)=2×4+2×8

Բազմապատկման բաշխական օրենք հանման նկատմամբ. Որևէ թվի և տարբերության արտադրյալը հավասար է այդ թվի և նվազելիի արտադրյալի և այդ թվի ու հանելիի արտադրյալի տարբերությանը:
Օրինակ` 7x(14-12)=7×14-7×12

Ի տարբերություն գումարման և բազմապատկման` մյուս երկու  գործողությունների դեպքում պարտադիր չէ, որ ստացված արդյունքը բնական թիվ լինի:

Դրանք են՝

3.Հանումը: Օրինակ`

ա. 300-326=-156

բ. 40000-23545=16455

4.Բաժանումը: Օրինակ`

ա.26÷4=6.5

բ.127÷10=12.7

Բաժանման հատկությունները`                                                                                                 1.Եթե երկու բնական թվերից յուրաքանչյուրը բաժանվում է մի բնական թվի,ապա նրանց գումարը նույնպես բաժանվում է այդ թվին, և ստացված քանորդը հավասար է գումարելիների բաժանումից ստացվող քանորդների  գումարին:
Օրինակ` 15÷5=3     10÷5=2

25÷5=5          3÷2=5

2.Եթե երկու բնական թվերից որևէ մեկը բաժանվում է մի ուրիշ բնական թվի, ապա նրանց արտադրյալը նույնպես կբաժանվի այդ թվին, ընդ որում այդ բաժանման քանորդը  հավասար կլինի առաջին թվի բաժանումից ստացվող  քանորդի և երկրորդ թվի արտադրյալին: Օրինակ` դիտարկենք 18 և 5թվերը
18÷3=6

18×5=90

90÷3=30

5×6=30

Բնական թիվը կոչվում է պարզ, եթե այն ունի միայն երկու բնական բաժանարար՝ մեկը և ինքը՝ այդ թիվը:
Բնական թիվը կոչվում է բաղադրյալ, եթե այն ունի երկուսից ավելի բնական բաժանարարներ:
1 թիվն ունի միայն մեկ բնական բաժանարար՝ հենց ինքը, ուստի այն չի համարվում ոչ բաղադրյալ և ոչ էլ պարզ թիվ:

Բաժանելիության հայտանիշներ

Թիվը բաժանվում է 2- ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ նրա վերջին թվանշանը բաժանվում է 2-ի, այսինքն՝ զույգ է։

Թիվը բաժանվում է 3-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ նրա թվանշանների գումարը բաժանվում ՝ 3-ի վրա։

Թիվը բաժանվում է 4-ի վրա, երբ վերջին երկու թվանշանները 0-ներ են կամ կազմում են 4-ի վրա բաժանվող թիվ։

Թիվը բաժանվում է 5-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ նրա վերջին թվանշանը բաժանվում է 5-ի վրա:

Թիվը բաժանվում է 7 -ի, երբ տասնավորի եռապատիկի և միավորի գումարը բաժանվում է 7-ի։

Թիվը բաժանվում է 8-ի, երբ նրա գրառման մեջ վերջին երեք թվանշանները զրոներ են կամ կազմում են 8-ի բաժանվող թիվ։

Թիվը բաժանվում է 11-ի վրա այն և միայն այն դեպքում, երբ կենտ համարներով դիրքերում գրված թվերի գումարի և զույգ համարներով դիրքերում գրված թվերի գումարի տարբերության մոդուլը բաժանվում է 11-ի։

Թիվը բաժանվում է 13-ի վրա, երբ տասնյակների և միավորների քառապատիկի գումարը բաժանվում է 13- ի վրա։

Ամենամեծ ընդհանուր բաժանարար

Ամենամեծ բնական թիվը, որի վրա բաժանվում են տրված թվերից յուրաքանչյուրը, կոչվում է այդ թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարար:
Գտնենք 36 և 42 թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը: Դրա համար այդ թվերը պետք է վերլուծել պարզ արտադրիչների,  ստացված վերլուծումներում գտնել բոլոր ընդհանուր պարզ արտադրիչները:

36=2² *3²     42=2*3*7

Հաշվենք բոլոր ընդհանուր պարզ արտադրիչների արտադրյալը `2*3=6:

Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկ

Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկն այն ամենափոքր թիվն է, որը բաժանվում է  տրված բնական թվերից  յուրաքանչյուրի վրա: Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը կարելի է գտնել վերլուծելով թվերը պարզ արտադրիչների: Դիցուք, օրինակ, պետք է գտնել 348 և 378 թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը: Վերլուծենք այդ թվերից յուրաքանչյուրը պարզ արտադրիչների՝

348 = 2² * 3 * 29,
378 = 2 * 3³ * 7:

Թվի վերլուծությունում, որը 348 և 378 թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկն է, պետք է պարունակվի ինչպես 348 թվի վերլուծությունը, այնպես էլ 378 թվի վերլուծությունը: Ուրեմն, պետք է դուրս գրել բոլոր պարզ արտադրիչները, որոնք մտնում են այդ վերլուծություններից մեկի մեջ և լրացնել այն պակասող արտադրիչով մյուս վերլուծությունից: Եթե ինչ-որ պարզ արտադրիչ մտնում է երկու վերլուծություններում, ապա այն վերցվում է մեծագույն ցուցիչով: Այստեղից՝

2² * 3³ * 7 * 29 = 7308:

Այսպես, 348 և 378 թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը 7308 թիվն է: